题目内容
已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数
的图象上．（1）若数列{an}是首项为1，公差也为1的等差数列，求{bn}的通项公式；
（2）对（1）中的数列{an}和{bn}，过点Pn，Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn，试证明：对一切正整数n，
；（3）对（1）中的数列{an}，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入3k-1个3，得到一个新的数列{dn}，问a5是数列{dn}中的第几项．若设Sn是数列{dn}的前n项和，试求S100的值．
【答案】分析：（1）根据题中已知条件以及等差数列的基本性质，先求出bn的通项公式，然后证明为常数即可证明；
（2）先求出直线PnPn+1的方程，然后求出它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），
，表示出所围成的三角形面积为cn，最后利用作差法判定数列{cn}的单调性，从而求出cn范围；
（3）从第一项a1=1开始到a5=5为止，共插入了3+31+32+33=40个3，从而确定a5=5是数列{dn}中的第45项，在数列{dn}中，a5=5到a6=6中间插入了34=81个3，则S100=S45+55×3，从而求出所求．
解答：（本题满分（18分），第1题（4分），第2题（6分），第3题8分）
解：（1）由已知，an=n，所以，
（n为正整数）．…（4分）
（2）因an=n，
，∴
，
，…（5分）
，直线PnPn+1的方程为
，…（6分），
它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），
，
∴
，…（8分）
，
∴数列{cn}随着n的增大而减小 …（9分）
∴
．…（10分）
（3）∵an=n，∴数列{dn}中，从第一项a1=1开始到a5=5为止，
共插入了3+31+32+33=40个3，∴a5=5是数列{dn}中的第45项…（14分）
在数列{dn}中，a5=5到a6=6中间插入了34=81个3
∴S100=S45+55×3=（1+2+3+4+5）+40×3+55×3=300．…（18分）
点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本性质以及函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．
（2）先求出直线PnPn+1的方程，然后求出它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），
，表示出所围成的三角形面积为cn，最后利用作差法判定数列{cn}的单调性，从而求出cn范围；（3）从第一项a1=1开始到a5=5为止，共插入了3+31+32+33=40个3，从而确定a5=5是数列{dn}中的第45项，在数列{dn}中，a5=5到a6=6中间插入了34=81个3，则S100=S45+55×3，从而求出所求．
解答：（本题满分（18分），第1题（4分），第2题（6分），第3题8分）
解：（1）由已知，an=n，所以，
（n为正整数）．…（4分）（2）因an=n，
，∴，，…（5分），直线PnPn+1的方程为，…（6分），它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），
，∴
，…（8分），∴数列{cn}随着n的增大而减小 …（9分）
∴
．…（10分）（3）∵an=n，∴数列{dn}中，从第一项a1=1开始到a5=5为止，
共插入了3+31+32+33=40个3，∴a5=5是数列{dn}中的第45项…（14分）
在数列{dn}中，a5=5到a6=6中间插入了34=81个3
∴S100=S45+55×3=（1+2+3+4+5）+40×3+55×3=300．…（18分）
点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本性质以及函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．
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)1004])
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，其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点．