Question

已知复数z满足z+

7

z

∈R，又|z-1|+|z-3|=4，求复数z．

Answer 1

分析：因为z+

7

z

∈R，所以

.

z+ 7 z

=z+

7

z

，得到

.

z

+

7

. z

=z+

7

z

，进一步化得：(z-

.

z

)(1-

7

z . z

)=0，从而z∈R（z≠0）或|z|²=7．下面进行分类求解：（1）当z∈R（z≠0）时；（2）当|z|²=7时，分别求得复数z即可．

解答：解：因为z+

7

z

∈R，所以

.

z+ 7 z

=z+

7

z

，则

.

z

+

7

. z

=z+

7

z

，
所以z-

.

z

+

7

z

-

7

. z

=0，即(z-

.

z

)(1-

7

z . z

)=0，
所以z-

.

z

=0或者z

.

z

=7，即z∈R（z≠0）或|z|²=7．
（1）当z∈R（z≠0）时，|z-1|+|z-3|=4，所以z=4或者z=0（舍去）；
（2）当|z|²=7时，设z=x+yi（x，y∈R），则x²+y²=7…①，
又|z-1|+|z-3|=4，由题意可知

(x-2)2

4

+

y2

3

=1…②，
根据①②，可得x=2，  y=±

3

，所以z=2±

3

i；
综上所述，z=2±

3

i或者z=4．

点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的乘除运算、复数求模等基础知识，考查运算求解能力，考查与转化思想．属于基础题．