题目内容
已知函数f(x)=alnx-(x-1)2-ax(常数a∈R)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设a>0如果对于f(x)的图象上两点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))(1< x1< x2 ),存在x0∈(x1,x2),使得f(x)的图象在x=x0处的切线m∥P1P2,求证:
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设a>0如果对于f(x)的图象上两点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))(1< x1< x2 ),存在x0∈(x1,x2),使得f(x)的图象在x=x0处的切线m∥P1P2,求证:

解:(1)f(x)的定义域为(0,+ ∞)
①a≥0时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+ ∞)
②-2<a<0时,f(x)的增区间为(
,1),减区间为(0,
) ∪(1,+ ∞)
③a=-2时,f(x)减区间为(0,+ ∞)
④a<-2时,f(x)的增区间为(1,
),减区间为(0,1) ∪(
,+∞)
(2)由题意

又:
∵
(a>0)在(1,+ ∞)上为减函数
要证
,只要证
即
, 即证
令
,
∴g(t)在(1,+ ∞)为增函数
∴g(t)>g(1)=0
∴
,即
即
∴
得证

①a≥0时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+ ∞)
②-2<a<0时,f(x)的增区间为(


③a=-2时,f(x)减区间为(0,+ ∞)
④a<-2时,f(x)的增区间为(1,


(2)由题意

又:

∵

要证


即


令

∴g(t)在(1,+ ∞)为增函数
∴g(t)>g(1)=0
∴


即

∴


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