题目内容
已知函数f（x）=alnx-（x-1）2-ax（常数a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设a>0如果对于f（x）的图象上两点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））（1< x1< x2 ），存在x0∈（x1，x2），使得f（x）的图象在x=x0处的切线m∥P1P2，求证：
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设a>0如果对于f（x）的图象上两点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））（1< x1< x2 ），存在x0∈（x1，x2），使得f（x）的图象在x=x0处的切线m∥P1P2，求证：
解：（1）f（x）的定义域为（0，+ ∞）
①a≥0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+ ∞）
②-2<a<0时，f（x）的增区间为（
，1），减区间为（0，
） ∪（1，+ ∞）
③a=-2时，f（x）减区间为（0，+ ∞）
④a<-2时，f（x）的增区间为（1，
），减区间为（0，1） ∪（
，+∞）
（2）由题意
又：
∵
（a>0）在（1，+ ∞）上为减函数
要证
，只要证
即
， 即证
令
，
∴g（t）在（1，+ ∞）为增函数
∴g（t）>g（1）=0
∴
，即
即
∴
得证
①a≥0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+ ∞）
②-2<a<0时，f（x）的增区间为（
，1），减区间为（0，） ∪（1，+ ∞）③a=-2时，f（x）减区间为（0，+ ∞）
④a<-2时，f（x）的增区间为（1，
），减区间为（0，1） ∪（，+∞）（2）由题意
又：
∵
（a>0）在（1，+ ∞）上为减函数要证
，只要证即
， 即证令
， ∴g（t）在（1，+ ∞）为增函数
∴g（t）>g（1）=0
∴
，即 即
∴
得证 
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