Question

在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量

e

=（0，1），点B为直线x=-1上的动点，点C满足2

OC

=

OA

+

OB

，点M满足

BM

•e=0，

CM

•

AB

=0．
（1）试求动点M的轨迹E的方程；
（2）试证直线CM为轨迹E的切线．

Answer 1

分析：（1）设B（-1，m），C（x₁，y₁），利用2

OC

=

OA

+

OB

得到关系式，求出x₁=0，y1=

m

2

，设M（x，y），

BM

•e=0，

CM

•

AB

=0．得到轨迹方程．
（2）求出MC的方程，与抛物线方程联立，求出解得情况，判断是否是切线即可．

解答：（1）解：设B（-1，m），C（x₁，y₁），
由2

OC

=

OA

+

OB

，得：2（x₁，y₁）=（1，0）+（-1，m），解得x₁=0，y1=

m

2

（2分）
设M（x，y），由

BM •e=0 CM • AB =0

，得

(x+1，y-m)•(0，1)=0 (x，y- m 2 )•(-2，m)=0

⇒

x= m2 4 y=m

，（4分）
消去m得E的轨迹方程y²=4x（6分）
（2）解：由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴，
设M（

y0

4

，y0），则B（-1，y₀），C（0，

y0

2

），
当y₀≠0时，kMC=

2

y0

，MC的方程y=

2

y0

x+

y0

2

（8分）
将MC方程与y²=4x联立消x，整理得：y²-2y₀y+y₀²=0，
它有唯一解y=y₀，即MC与y²=4x只有一个公共点，
又k_MC≠0，所以MC为y²=4x的切线（10分）
当y₀=0时，显然MC方程x=0为轨迹E的切线
综上知，MC为轨迹E的切线．

点评：本题是基础题，以向量为载体考查平面解析几何轨迹方程以及切线的问题，注意等价转化的思想，考查分析问题解决问题的能力．