Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx²+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值-

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，在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直．
（1）求常数a，b，c的值；
（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线，求函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1的“分界线”方程．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数，然后根据x=-1处取得极值-

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4

建立两个等式，再由在x=-2的导数与直线x-8y=0的斜率乘积为-1建立一等式，解三元一次方程组即可；
（2）由于对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，可赋值令x=0求出m，然后转化成两个二次不等式恒成立即可求出k的值．

解答：解：（1）f'（x）=4ax³+2bx+c，
由条件得到：

-4a-2b+c=0 a+b-c+1=- 1 4 -32a-4b+c=-8

，
得到：

a= 1 4 b= 1 2 c=2

（6分）
（2）依题意

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4

x4+

1

2

x2+2x+1≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立，
令x=0，则1≥m≥1，所以m=1，（8分）
因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即x²+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，（10分）
又因为：f(x)-(2x+1)=

1

4

x4+

1

2

x2≥0，所以f（x）≥2x+1恒成立，
所以：函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1的分界线方程是y=2x+1．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立等基础知识，属于中档题．