Question

（2012•荆州模拟）请在下面两题中选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-1：几何证明选讲
如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，圆周上有一点D，满足∠COD=60°，连PD交圆于点E，则PE=

3 7

7

．
选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P（1，-1），倾斜角的余弦值为-

4

5

，圆C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，设直线l与圆C交于A，B两点，则弦长|AB|=

7

5

．

Answer 1

分析：（1）先在△POD中由余弦定理求出PD长，再根据割线定理建立关系式，即可算出PE的长；
（2）将圆C化成普通方程得（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

，可得圆心是（

1

2

，-

1

2

）、半径r=

2

2

．算出l的斜率并利用直线方程的点斜式列式，化简得直线l方程为3x+4y+1=0，利用点到直线的距离公式算出点C到直线l的距离，再根据垂径定理加以计算，即可得到直线l被圆C截得的弦长．

解答：解：（1）∵△POD中，OD=1，PO=2，∠POD=120°，
∴由余弦定理，得
PD²=OD²+OP²-2OD•OPcos120°=1+4-2×1×2×（-

1

2

）=7，解得PD=

7

．
又∵根据割线定理，得PE•PD=PB•PC，
∴

7

PE=1×3，解之得PE=

3 7

7

．
（2）由ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，得ρ=

2

(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)，
即ρ=cosθ-sinθ，可得ρ²=ρcosθ-ρsinθ．
∴x²+y²=x-y，化简得（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

圆C是以（

1

2

，-

1

2

）为圆心，半径r=

2

2

∵直线l经过点P（1，-1），倾斜角的余弦值为-

4

5

，
∴l的斜率k=-

3

4

，得l的方程为y+1=-

3

4

（x-1），化简得3x+4y+1=0
∵点C到直线l的距离为d=

|3× 1 2 -4× 1 2 +1|

32+42

=

1

10

，
∴由垂径定理，得直线l被圆C截得的弦长|AB|=2

r2-d2

=

7

5

．
故答案为：

3 7

7

，

7

5

点评：本题着重考查了余弦定理、割线定理、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．