Question

已知侧棱垂直于底面的四棱柱,ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AD="A" A₁，
点F为棱BB₁的中点，点M为线段AC₁的中点.
(1)求证： MF∥平面ABCD
(2)求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

试题分析：
解题思路：（1）构造三角形，利用中位线证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；
（2）由线面垂直得到线线垂直，再证明线面垂直，进而证明面面垂直.
规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键.
试题解析：（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN.
∵F是BB₁的中点，∴F为C_!N的中点，B为CN的中点，
∴又因为M为线段AC_！的中点，∴MF∥AN，
又平面ABCD，平面ABCD，
∥平面ABCD.
连接BD，由题知平面AB-CD，又平面ABCD，.
四边形ABCD为菱形，.
又,平面,平面,平面.
在四边形DANB中，DA∥BN,且DA=BN,，四边形DANB为平行四边形，∥BD，平面。又平面，平面⊥平面.