题目内容

已知函数f(x)=cos(2x+)+sinx·cosx
⑴ 求函数f(x)的单调减区间;      ⑵ 若xÎ[0,],求f(x)的最值;
⑶ 若f(a)=,2a是第一象限角,求sin2a的值.
⑴ ⑴f(x)的减区间是[+kp,+kp](kÎZ)    ⑵x=时,f(x)max=1
⑶  
第一问中,利用f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x=sin(2x-)令+2kp≤2x-+2kp,
解得+kp≤x≤+kp 
第二问中,∵xÎ[0, ],∴2x-Î[-,],
∴当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-,
当2x-, 即x=时,f(x)max=1
第三问中,(a)=sin(2a-)=,2a是第一象限角,即2kp<2a<+2kp
∴ 2kp-<2a-+2kp,∴ cos(2a-)=
利用构造角得到sin2a=sin[(2a-)+]
解:⑴ f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x     ………2分
sin2x-cos2x=sin(2x-)                 ……………………3分
⑴ 令+2kp≤2x-+2kp,
解得+kp≤x≤+kp          ……………………5分
∴ f(x)的减区间是[+kp,+kp](kÎZ)            ……………………6分
⑵ ∵xÎ[0, ],∴2x-Î[-,],           ……………………7分
∴当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-,        ……………………8分
当2x-, 即x=时,f(x)max=1          ……………………9分
⑶ f(a)=sin(2a-)=,2a是第一象限角,即2kp<2a<+2kp
∴ 2kp-<2a-+2kp,∴ cos(2a-)=,   ……………………11分
∴ sin2a=sin[(2a-)+]
=sin(2a-)·cos+cos(2a-)·sin   ………12分
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