Question

（10分）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为.
（1）求抛物线的标准方程；    （2）求双曲线的标准方程.

Answer 1

（1）.（2） .

解析试题分析：(1)因为抛物线过点，并且焦点在x轴上，所以此抛物线的开口向右，可设其方程为,根据过点,代入抛物线方程即可得到p值，从而求出抛物线的方程.
(2)据（1）可知双曲线的一个焦点坐标（1，0），另一个焦点坐标为(-1,0),再利用双曲线的定义到两焦点的距离之间的绝对值等于2a,可求出a的值，从而得到b的值，最终求得双曲线方程.
（1）由题意知，抛物线的焦点在轴上，又过点，
所以,设抛物线方程为， 代入点，有
得， 所以，抛物线的方程为.
（2）由（1）知所求双曲线的一个焦点为， 
设所求双曲线方程为代入点，得
所以双曲线方程为 .
考点：双曲线与抛物线的标准，双曲线的定义.
点评：本小题在求抛物线方程与双曲线方程时都可以采用特定系数法，但在求双曲线的标准方程如果利用定义就比较简单.