题目内容

20.若f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的保值区间,试探索g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x},x≥1}\\{\frac{1}{x}-1,0<x<1}\end{array}\right.$是否存在保值区间?若存在,求出实数a,b的值;若不存在,请说明理由.

分析 函数g(x)在[a,b]上的单调性不确定,故分为三种情况进行讨论,①若1≥b>a>0,②若b>a>1,③若b>1≥a>0,前两种情况单调性确定,最值可求,解方程组可求a,b,第三种情况可求最小值为0,不合题意.

解答 解:函数不存在形如[a,b]的保值区间.
理由:若存在实数a、b使得函数g(x)有形如[a,b]的保值区间,则a>0,
∵g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x},x≥1}\\{\frac{1}{x}-1,0<x<1}\end{array}\right.$,
①若1≥b>a>0,
则g(x)=$\frac{1}{x}$-1在[a,b]上单调递减,
最小值g(b),最大值g(a)
即有g(b)=a,即$\frac{1}{b}$-1=a,可得1-b=ab,
g(a)=b,即$\frac{1}{a}$-1=b,即1-a=ab,
两式相减得a=b,与题意不符;
②若b>a>1,
则g(x)=1-$\frac{1}{x}$在[a,b]上单调递增,
即有最小值g(a) 最大值g(b),
g(a)=a,1-$\frac{1}{a}$=a,即a-1=a2
g(b)=b,1-$\frac{1}{b}$=b,即b-1=b2
可知a,b是方程x-1=x2的两根,
x2-x+1=0,△=-3<0,无解;
③若b>1≥a>0,
则g(x)=|1-$\frac{1}{x}$|在[a,1]上单调递减,在[1,b]上单调递增,
最小值g(1),最大值g(b)或g(a),
a=g(1)=0与a>0矛盾;
综上所述不存在满足条件的a,b.

点评 解决本题的关键是读懂题意,理清题意归纳出规律,知自变量的取值范围[a,b],值域[a,b],求a、b,就是在[a,b]上,自变量x取何值时得最大值b,自变量x取何值时得最小值a,用到函数的单调性,所以以函数的单调性来分类进行求解.

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