题目内容

已知A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则P(2,1,4)到平面ABC的距离是
 
分析:利用已知条件求出
AB
AC
AP
,利用向量垂直求出平面ABC的法向量,通过向量数量积求出P(2,1,4)到平面ABC的距离.
解答:解:
AB
=(-2,1,0)
AC
=(-2,0,2)
AP
=(0,1,4)

设平面ABC的法向量为
n
=(x,y,z)

则由
n
AB
=0,
n
AC
=0

得:
-2x+y=0
-2x+2z=0
,解得x=z,y=2x
令z=1,则
n
=(1,2,1)

所以点P到平面平面ABC的距离是d=
n
AP
|
n|
=
0+2+4
6
=
6

故答案为:
6
点评:本题考查空间向量的数量积的运算,平面法向量的求法,点到平面的距离的求法,考查计算能力.
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