Question

已知函数f（x）=

x2

4

+ax+

a

2

  
（1）若函数f（x）在（-∞，-4）上的减函数，求a的值；
（2）当|x|≤2时，记函数f（x）的最小值为g（a），求出g（a）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由二次函数的性质可得f（x）在（-∞，-2a）上单调递减，由题意有（-∞，-4）⊆（-∞，-2a），得不等式，解出a，
（2）由题意分类讨论求函数f（x）的最小值，即g（a）即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=

x2

4

+ax+

a

2

为二次函数，
图象开口向上，关于直线x=-2a对称，
在（-∞，-2a）上单调递减，（-2a，+∞）上单调递增，
若函数f（x）在（-∞，-4）上的减函数，则（-∞，-4）⊆（-∞，-2a），
则有-4≤-2a，解得a≤2．
（2）|x|≤2，则-2≤x≤2，
又由（1）可知，函数图象对称轴为x=-2a，
当-2a＜-2，即a＞1时，函数在[-2，2]上单调递增，x=-2时，取得最小值1-

3

2

a，则此时g（a）=1-

3

2

a，
当-2≤-2a≤2，即-1≤a≤1时，函数在x=-2a处取得最小值-a²+

a

2

，此时g（a）=-a²+

a

2

，
当-2a＞2，即a＜-1时，函数在[-2，2]上单调递减，x=2时，取得最小值1+

5

2

a，则此时g（a）=1+

5

2

a，
综上，g（a）=

1+ 5 2 a，a＜-1 -a2+ a 2 ，-1≤a≤1 1- 3 2 a，a＞1

．

点评：本题考查二次函数的性质，主要是利用性质求单调性和最值，属于规律型题目，注意总结．