Question

4．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}＜0$的解集为（　　）

• A． （-3，3）
• B． （-3，0）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（0，3）
• D． （-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．

解答 解：因为y=f（x）为偶函数，所以$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}=\frac{2f（x）}{2x}=\frac{f（x）}{x}＜0$，
所以不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$．
因为函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，
所以解得x＞3或-3＜x＜0，
即不等式的解集为（-3，0）∪（3，+∞）．
故选：B．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．