Question

点P为圆O：x²+y²=a²（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若动直线l与曲线C交于A、B两点，当△OAB（O是坐标原点）面积取得最大值，且最大值为1时，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定P，M坐标之间的关系，利用P是圆上的动点，代入x²+y²=a²，即可得曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论：①当l斜率不存在时，可得S_△OAB最大值为；②当l斜率存在时，表示出三角形的面积，利用基本不等式，可得S_△OAB的最大值为，由已知得，从而可求a的值．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x，y），由，得，…（2分）
代入x²+y²=a²，得 ．…（4分）
（Ⅱ）①当l斜率不存在时，设x=t，由已知得-a＜t＜a，
由，得
所以，
当且仅当t²=a²-t²，即时，等号成立．
此时S_△OAB最大值为．…（5分）
②当l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，
由，消去y整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-a²=0，
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-a²）=4[4k²+a²-4m²]
由△＞0，得4k²a²+a²-4m²＞0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则  ②…（7分）
③
原点到直线l距离为 ，④…（9分）
由面积公式及③④得…（11分）
综合①②，S_△OAB的最大值为，由已知得，所以 a=2．…（12分）
点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．