Question

已知圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．
（1）求圆M的方程；
（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O：x²+y²=1引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得

PQ

PR

为定值？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆心坐标为（m，2m-6）则利用圆过点1，2）、（4，-1），求出m即可；
（2）设P，R的坐标，利用直线和圆相切，建立方程关系，进行判断．

解答：解：（1）∵圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．
∴设圆心坐标为（m，2m），半径为r，
则圆的标准范围为（x-m）²+（y-2m+6）²=r²；
则（1-m）²+（2-2m+6）²=r²且（4-m）²+（-1-2m+6）²=r²；
即（m-1）²+（8-2m）²=r²且（m-4）²+（5-2m）²=r²；
解得m=4，r=3，
∴圆M：（x-4）²+（y-2）²=9．
（2）设P（x，y），R（a，b），
则（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，
又PQ²=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²=x²+y²-2ax-2by+a²+b²，
故PQ²=8x+4y-12，
PR²=（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11，
又设

PQ

PR

=t为定值，
故8x+4y-12=t²[（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11]，
可得

8=(8-2a)t2            4=(4-2b)t2            -12=(a2+b2-11)t2

，
解得

a1=2   b1=1    t1= 2

或

a2= 2 5     b2= 1 5      t2= 10 3

，
综上，存在点R（2，1）或(

2

5

 ， 

1

5

)满足题意．

点评：本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，以及直线与圆的位置关系应用，考查学生的运算能力．