Question

设函数．
（Ⅰ） 当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若对任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）===…（5分）
当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；
令f′（x）＞0，得．
当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或；
令f′（x）＞0，得．…（7分）
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和单调递减，在上单调递…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．
∴
∴ma+ln2＞（10分）
而a＞0经整理得由2＜a＜3得，所以m≥0．（12分）
分析：（Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，从而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2），进而可得ma+ln2＞，由此可得实数m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．