题目内容
设函数f(x)=
log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R+，且
+
=1，求证：tlo
m+mlo
t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
+
+
+…+
=1，求证：
+
+
+…+
≤n．
| x-1 |
| x |
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R+，且
| 1 |
| m |
| 1 |
| t |
| g | 2 |
| g | 2 |
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2n |
lo
| ||
| a1 |
lo
| ||
| a2 |
lo
| ||
| a3 |
lo
| ||
| a2n |
分析：（I）求导数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值；
（Ⅱ）证明tlo
m+mlo
t≤mt，只要证明
+
≤1；
（Ⅲ）用数学归纳法，关键是证明当n=k+1时不等式也成立，同时使用归纳假设．
（Ⅱ）证明tlo
| g | 2 |
| g | 2 |
| log2m |
| m |
| log2t |
| t |
（Ⅲ）用数学归纳法，关键是证明当n=k+1时不等式也成立，同时使用归纳假设．
解答：（I）解：求导数可得：f′(x)=
log2(x-1)（x＞1）
令f′（x）≥0，得x≥2，所以f（x）在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增．
所以f（x）min=f（2）=-1．
（Ⅱ）证明：
+
=
-
=
-（1-
）log2(1-
)
=-[
log2(m-1)-log2m]
由（I）知当x＞1时，
log2(x-1)-log2x≥-1，
又m，t∈R+，且
+
=1，∴m＞1
∴
log2(m-1)-log2m≥-1
∴
+
≤1
∴tlo
m+mlo
t≤mt．
（Ⅲ）证明：用数学归纳法证明如下：
1°当n=1时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假设n=k时不等式成立，
即若a1，a2，a3，…，a2k∈R+，且
+
+
+…+
=1时，
不等式
+
+
+…+
≤k成立
现需证当n=k+1时不等式也成立，
即证：若a1，a2，a3，…，a2k+1∈R+，且
+
+
+…+
=1时，不等式
+
+
+…+
≤k+1成立．
证明如下：设
+
+
+…+
=x，则
+
+
+…+
=1
∴
+
+
+…+
≤k
∴
+
+
+…+
≥-kx
∴
+
+
+…+
≥-kx+xlog2x…①
同理
+
+…+
≥-k(1-x)+（1-x）log2（1-x）…②
由①+②得：
+
+
+…+
≥-k+[xlog2x+（1-x）log2（1-x）]
又由（Ⅱ）令
=x，则
=1-x，其中∈x（0，1），
则有
+
≤1
∴xlog2x+（1-x）log2（1-x）≥-1
∴-k+[xlog2x+（1-x）log2（1-x）]≥-k-1
∴
+
+
+…+
≤k+1
∴当n=k+1时，原不等式也成立．
综上，由1°和2°可知，原不等式均成立．
| 1 |
| x2 |
令f′（x）≥0，得x≥2，所以f（x）在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增．
所以f（x）min=f（2）=-1．
（Ⅱ）证明：
| log2m |
| m |
| log2t |
| t |
| log2m |
| m |
log2
| ||
| t |
| log2m |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
=-[
| m-1 |
| m |
由（I）知当x＞1时，
| x-1 |
| x |
又m，t∈R+，且
| 1 |
| m |
| 1 |
| t |
∴
| m-1 |
| m |
∴
| log2m |
| m |
| log2t |
| t |
∴tlo
| g | 2 |
| g | 2 |
（Ⅲ）证明：用数学归纳法证明如下：
1°当n=1时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假设n=k时不等式成立，
即若a1，a2，a3，…，a2k∈R+，且
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2k |
不等式
lo
| ||
| a1 |
lo
| ||
| a2 |
lo
| ||
| a3 |
lo
| ||
| a2k |
现需证当n=k+1时不等式也成立，
即证：若a1，a2，a3，…，a2k+1∈R+，且
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2k+1 |
lo
| ||
| a1 |
lo
| ||
| a2 |
lo
| ||
| a3 |
lo
| ||
| a2k+1 |
证明如下：设
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2k |
| 1 |
| xa1 |
| 1 |
| xa2 |
| 1 |
| xa3 |
| 1 |
| xa2k |
∴
lo
| ||
| xa1 |
lo
| ||
| xa2 |
lo
| ||
| xa3 |
lo
| ||
| xa2k |
∴
-lo
| ||
| a1 |
-lo
| ||
| a2 |
-lo
| ||
| a3 |
-lo
| ||
| a2k |
∴
-lo
| ||
| a1 |
-lo
| ||
| a2 |
-lo
| ||
| a3 |
-lo
| ||
| a2k |
同理
-lo
| ||
| a2k+1 |
-lo
| ||
| a2k+2 |
-lo
| ||
| a2k+1 |
由①+②得：
-lo
| ||
| a1 |
-lo
| ||
| a2 |
-lo
| ||
| a3 |
-lo
| ||
| a2k+1 |
又由（Ⅱ）令
| 1 |
| m |
| 1 |
| t |
则有
| log2m |
| m |
| log2t |
| t |
∴xlog2x+（1-x）log2（1-x）≥-1
∴-k+[xlog2x+（1-x）log2（1-x）]≥-k-1
∴
lo
| ||
| a1 |
lo
| ||
| a2 |
lo
| ||
| a3 |
lo
| ||
| a2k+1 |
∴当n=k+1时，原不等式也成立．
综上，由1°和2°可知，原不等式均成立．
点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，解题的关键是数学归纳法的第2步，有难度．
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