题目内容
设f（x）=
，g（x）=
，计算f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）= ，f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）= ，并由此概括出关于函数f（x）和g（x）的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是 ．
| ex+e-x |
| 2 |
| ex-e-x |
| 2 |
分析：由函数的解析式计算f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=0，f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=0，分析两个式子中自变量之间的关系，归纳推理可得答案．
解答：解：∵f（x）=
，g（x）=
，
∴f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=
•
+
•
-
=
+
-
=0，
同理求得 f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=0，
…
归纳可得：f（a）g（b）+f（b）g（a）-g（a+b）=0，
故答案为：0、0、f（a）g（b）+f（b）g（a）-g（a+b）=0．
| ex+e-x |
| 2 |
| ex-e-x |
| 2 |
∴f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=
| e+e-1 |
| 2 |
| e3-e-3 |
| 2 |
| e-e-1 |
| 2 |
| e3+e-3 |
| 2 |
| e4-e-4 |
| 2 |
| e4-e-2+e2-e-4 |
| 4 |
| e4+e-2-e2-e-4 |
| 4 |
| e4-e-4 |
| 2 |
同理求得 f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=0，
…
归纳可得：f（a）g（b）+f（b）g（a）-g（a+b）=0，
故答案为：0、0、f（a）g（b）+f（b）g（a）-g（a+b）=0．
点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知分析出等式中变量之间的关系规律是解答的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x+1）=-f（x）对任意的x都成立；②当x∈[0，1]时，f（x）=ex-e•cos
+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（ ）
| πx |
| 2 |
A、m=-
| ||
| B、m=1-e，n=5 | ||
C、m=-
| ||
| D、m=e-1，n=4 |