Question

(本小题满分12分)

已知点是椭圆E：（a > b > 0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．

求椭圆E的方程；

设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0<λ<4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1) ∵PF₁⊥x轴，

∴F₁( – 1，0)，c = 1，F₂(1，0)，

|PF₂|=，2a = |PF₁| + |PF₂| = 4，a = 2，b² = 3，

椭圆E的方程为：；      4分

(2) 设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，由 得

  （x₁+1，y₁-）+（x₂+1，y₂-）=(1，- )，

   所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=(2-)………①       5分

又，，

两式相减得3(x₁+x₂)(x₁-x₂)+ 4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0   ②

以①式代入可得AB的斜率k=    8分

设直线AB的方程为y=x+t，

  与联立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0，

  △=3(4-t²)>0，， x₁+x₂=-t=-2

  点M到直线AB的距离为d=，

         10分

或不合题意．故这样的不存在   12分