Question

某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知最高点为（2+h，4），h≥1．设抛物线方程为y=a[x-（2+h）]²+4，当h=1时，最高点为（3，4），方程为y=a（x-3）²+4，由此能求出结果．
（2）将点A（2，3）代入y=a[x-（2+h）]²+4，得ah²=-1，由题意，方程a[x-（2+h）]²+4=0在区间[5，6]内有一解，由此入手能求出达到较好的训练效果时h的取值范围．

解答：解：（1）由题意知最高点为（2+h，4），h≥1．
设抛物线方程为y=a[x-（2+h）]²+4，
当h=1时，最高点为（3，4），方程为y=a（x-3）²+4，
将A（2，3）代入，得3=a（2-3）²+4，
解得a=-1，
∴当h=1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y=-（x-3）²+4．
（2）将点A（2，3）代入y=a[x-（2+h）]²+4，
得ah²=-1，①
由题意，方程a[x-（2+h）]²+4=0在区间[5，6]内有一解，
令f（x）=a[x-（2+h）]²+4=-

1

h2

[x-（2+h）]²+4，
则f（5）=-

1

h2

（3-h）²+4≥0，且f（6）=-

1

h2

（4-h）²+4≤0．
解得1≤h≤

4

3

．
故达到较好的训练效果时h的取值范围是[1，

4

3

]．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．