Question

设方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一个圆．
（1）求m的取值范围；
（2）m取何值时，圆的半径最大？并求出最大半径；
（3）求圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用D²+E²-4F＞0，可得不等式，解不等式可求m的取值范围；
（2）对圆的半径表达式配方，可求圆的半径最大值；
（3）用参数表示出圆心坐标，消去参数，可得圆心的轨迹方程．

解答：解：（1）由D²+E²-4F＞0得：4（m+3）²+4（1-4m²）²-4（16m⁴+9）＞0，（2分）
化简得：7m²-6m-1＜0，解得-

1

7

＜m＜1．（4分）
所以m的取值范围是（-

1

7

，1）（5分）
（2）因为圆的半径r=

1

2

D2+E2-4F

=

-7m2+6m+1

=

-7(m- 3 7 )2+ 16 7

，（7分）
所以，当m=

3

7

时，圆的半径最大，最大半径为rmax=

4 7

7

．（9分）
（3）设圆心C（x，y），则

x=m+3 y=4m2-1

消去m得，y=4（x-3）²-1．（12分）
因为-

1

7

＜m＜1，所以

20

7

＜x＜4．（13分）
故圆心的轨迹方程为y=4（x-3）²-1（

20

7

＜x＜4）．（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查配方法的运用，确定圆心坐标与半径是关键．