题目内容
【题目】已知椭圆
的上顶点为A，右焦点为F，O是坐标原点，
是等腰直角三角形，且周长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与AF垂直，且交椭圆于B，C两点，求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）依题意求出
，
，
的值，即可求出椭圆方程；
（2）由（1）可得直线
的斜率，则可设直线
的方程为
，
联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出参数
的范围，设
，
，利用韦达定理及点到线的距离公式表示出
及点
到直线的距离
，则
利用导数求出面积的最值；
解：（1）在
中，
，
，则
，
因为是等腰直角三角形，且周长为
，
所以
，
，
，
得
，
，
因此椭圆的方程为.
（2）由（1）知
，
，则直线的斜率
，
因为直线与垂直，所以可设直线的方程为，
代入，得
，
则
，解得
，
所以
.
设，，则
，
，
.
又点到直线的距离
，
所以，.
令
，
则
，
令
，则
或
，
令
，则
或
.
因此
在
上是增函数，在
上是减函数，
在
上是增函数，在
上是减函数.
因为
，
，
，
所以当
时，取得最大值，
，
所以
，
因此
面积的最大值是.
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