题目内容
【题目】已知椭圆的上顶点为A,右焦点为F,O是坐标原点,
是等腰直角三角形,且周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l与AF垂直,且交椭圆于B,C两点,求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)依题意求出,
,
的值,即可求出椭圆方程;
(2)由(1)可得直线的斜率,则可设直线
的方程为
,
联立直线与椭圆方程,利用根的判别式求出参数的范围,设
,
,利用韦达定理及点到线的距离公式表示出
及点
到直线
的距离
,则
利用导数求出面积的最值;
解:(1)在中,
,
,则
,
因为是等腰直角三角形,且周长为
,
所以,
,
,
得,
,
因此椭圆的方程为.
(2)由(1)知,
,则直线
的斜率
,
因为直线与
垂直,所以可设直线
的方程为
,
代入,得
,
则,解得
,
所以.
设,
,则
,
,
.
又点到直线
的距离
,
所以,
.
令,
则,
令,则
或
,
令,则
或
.
因此在
上是增函数,在
上是减函数,
在上是增函数,在
上是减函数.
因为,
,
,
所以当时,
取得最大值,
,
所以,
因此面积的最大值是
.
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