Question

数列{a_n}中，a_n=|n-k|+|n+2k|，若对任意的正整数n，a_n≥a₃=a₄都成立，则k的取值范围为

2≤k≤3

．

Answer 1

分析：由绝对值不等式的性质可知：a_n=|n-k|+|n-2k|=|n-k|+|2k-n|≥|n-k+2k-n|=|k|，当且仅当（n-k）（2k-n）≥0时，即当且仅当k≤n≤2k时，a_n取得最小值．又根据an≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄为最小值，从而可求k的取值范围．

解答：解：a_n=|n-k|+|n-2k|=|n-k|+|2k-n|≥|n-k+2k-n|=|k|，
当且仅当（n-k）（2k-n）≥0时，即当且仅当k≤n≤2k时，a_n取得最小值．
又因为an≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄为最小值，即k≤3≤2k，且k≤4≤2k，解得，2≤k≤3．
故答案为2≤k≤3．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查绝对值不等式的性质，属于基础题．