题目内容
如图，反比例函数y=f（x）（x＞0）的图象过点A（1，4）和B（4，1），点P（x，y）为该函数图象上一动点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．记四边形OCPD（O为坐标原点）与三角形OAB的公共部分面积为S．（1）求S关于x的表达式；
（2）求S的最大值及此时x的值．
【答案】分析：（1）根据图象求得反比例函数模型，由题设，得
（x＞0），再分x≤1时，1＜x＜4时，x≥4时三种情况求得其面积建立模型．
（2）根据（1）函数是分段函数每一段根据函数的特点取得取大值，然后从中取最大的，作为原函数的最大值．
解答：解：（1）由题设，得
（x＞0），（2分）
当x≤1时，
，
当1＜x＜4时，
，
当x≥4时，
，
故
（8分）
（2）易知当x≤1时，
为单调递增函数，
，（10分）
当x≥4时，
为单调递减函数，
，（12分）
当1＜x＜4时，
在区间（1，2）上单调递增，在区间（2，4）上单调递减，得
，
故S的最大值为3，
此时x=2．（16分）
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了分段函数求最值，基本思想是求每一段上取最大值，从中取最大的作为原函数的最大值．
（x＞0），再分x≤1时，1＜x＜4时，x≥4时三种情况求得其面积建立模型．（2）根据（1）函数是分段函数每一段根据函数的特点取得取大值，然后从中取最大的，作为原函数的最大值．
解答：解：（1）由题设，得
（x＞0），（2分）当x≤1时，
，当1＜x＜4时，
，当x≥4时，
，故
（8分）（2）易知当x≤1时，
为单调递增函数，，（10分）当x≥4时，
为单调递减函数，，（12分）当1＜x＜4时，
在区间（1，2）上单调递增，在区间（2，4）上单调递减，得，故S的最大值为3，
此时x=2．（16分）
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了分段函数求最值，基本思想是求每一段上取最大值，从中取最大的作为原函数的最大值．
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同步练习西南师范大学出版社系列答案
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如图，反比例函数
