题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a＞0,b∈R),设方程f(x)=x有两个实根x1、x2.

(1)如果x1＜2＜x2＜4,设函数f(x)的对称轴为x=x0,求证:x0＞-1;

(2)如果0＜x1＜2,且f(x)=x的两实根相差为2,求实数b的取值范围.

(1)证明:设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,且a＞0,则由条件x1＜2＜x2＜4,得g(2)＜0且g(4)＞0,

即-4a＜b＜-2a.   

所以-4a＜-2a,得a＞.

    由-4a＜b＜-2a,得1-＜-＜2-.

    所以x0=-＞1-＞1-=-1,即x0＞-1.

(2)解:由g(x)=ax2+(b-1)x+1=0,可知x1x2=＞0,即x1与x2同号.

因为0＜x1＜2,所以x2-x1=2,

    所以(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2==42a+1=.

    将g(2)＜0,即4a+2b-1＜0代入上式有2＜3-2bb＜.


练习册系列答案
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（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
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bx-1a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）当b=2a时，问是否存在x的值，使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a，不等式f（x）＜4恒成立？并说明理由．

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