Question

是否存在实数a，使函数f(x)=log2(x+

x2+2

)-a为奇函数，同时使函数g(x)=x(

1

ax-1

+a)为偶函数，证明你的结论．

Answer 1

分析：因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则f（0）=0；分别得到h（x）=

1

ax-1

+a为奇函数，利用f（-x）+f（x）=0得到a的值即可．

解答：解：f（x）为奇函数，所以f（0）=0，
得log2

2

-a=0?a=

1

2

．
若g（x）为偶函数，则h（x）=

1

ax-1

+a为奇函数，
h（-x）+h（x）=0?

1

a-x-1

+a+

1

ax-1

+a=0
?2a=

ax

ax-1

-

1

ax-1

?2a=1?a=

1

2

∴存在符合题设条件的a=

1

2

．

点评：考查学生对函数奇偶性的应用能力．