Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=-

1

f(x)

，则“f（x）为[-3，-1]上的减函数”是“f（x）为[4，7]上的增函数”的（　　）

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要的条件

Answer 1

分析：根据偶函数的性质，根据等式f(x+2)=-

1

f(x)

，求出f（x）的周期，偶函数的图象是关于y轴对称，函数的单调性在x＞0和x＜0是相反的，从而进行判断；

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∵f(x+2)=-

1

f(x)

，可得f（x+4）=-

1

f(x+2)

，
∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
∴函数的周期为T=4，
若“f（x）为[-3，-1]上的减函数，可得f（x）在[1，3]上是增函数，同理再加一个周期4，可得
f（x）在[4，7]上为增函数，
若“f（x）为[5，7]上的增函数，减去两个周期，
∴f（x）在[-3，-1]上为减函数，
∴“f（x）为[-3，-1]上的减函数”是“f（x）为[4，7]上的增函数的充要条件；
故选C；

点评：此题主要考查偶函数的性质及其单调性的应用，是一道基础题，考查的知识点比较全面；