题目内容
设函数f（x）=x+
，其中常数λ＞0．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（3）若f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求常数λ的取值范围．
| λ | x |
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（3）若f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求常数λ的取值范围．
分析：（1）函数的定义域为R，且f（-x）=-x+
=-f（x），可得函数为奇函数．
（2）任取1≤x1＜x2，计算f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•
＜0，可得 f（x1）＜f（x2），从而得到函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
（3）任取1≤x1＜x2，根据f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•
，且函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调递增，可得f（x1）-f（x2）＜0，
即 λ＜x1•x2 对1≤x1＜x2 恒成立．再由1＜x1•x2，可得λ的范围．
| λ |
| -x |
（2）任取1≤x1＜x2，计算f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•
| x1•x2-1 |
| x1•x2 |
（3）任取1≤x1＜x2，根据f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•
| (x1•x2-λ) |
| x1•x2 |
即 λ＜x1•x2 对1≤x1＜x2 恒成立．再由1＜x1•x2，可得λ的范围．
解答：解：（1）由于函数f（x）=x+
，其中常数λ＞0，故函数的定义域为R，
且f（-x）=-x+
=-f（x），故函数为奇函数．
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
证明：任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）+
=（x1-x2）•
，
由1≤x1＜x2，可得 x1-x2 ＜0，x1•x2，＞1，∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（10分）
（3）任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=）=（x1-x2）+λ•
=（x1-x2）•
，
且函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调递增．∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴x1•x2-λ＞0 对1≤x1＜x2 恒成立，∴λ＜x1•x2，再由1＜x1•x2，可得0＜λ≤1．…（16分）
| λ |
| x |
且f（-x）=-x+
| λ |
| -x |
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
证明：任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x2-x1 |
| x1•x2 |
| x1•x2-1 |
| x1•x2 |
由1≤x1＜x2，可得 x1-x2 ＜0，x1•x2，＞1，∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（10分）
（3）任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
| λ |
| x1 |
| λ |
| x2 |
| x2-x1 |
| x1•x2 |
| (x1•x2-λ) |
| x1•x2 |
且函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调递增．∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴x1•x2-λ＞0 对1≤x1＜x2 恒成立，∴λ＜x1•x2，再由1＜x1•x2，可得0＜λ≤1．…（16分）
点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．
练习册系列答案
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
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