题目内容
【题目】已知曲线,直线
(其中
)与曲线
相交于
、
两点.
(Ⅰ)若,试判断曲线
的形状.
(Ⅱ)若,以线段
、
为邻边作平行四边形
,其中顶点
在曲线
上,
为坐标原点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)结合所给的方程讨论可得:
当时,曲线
的形状为直线
,
当时,曲线表示以焦点在
轴上,以
为实轴,以
为焦距的双曲线,
当时,表示焦点在
轴上,以
为长轴,以
为焦距的椭圆,
当时,表示焦点在
轴上,以
为长轴,以
为焦距的椭圆,
当时,表示圆心在原点,以
为半径的圆.
(Ⅱ)当时,曲线方程为:
,分类讨论:
当时,
,
当时,联立直线与椭圆的方程,消去
整理变形,结合题意可得
,结合
,可得
的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)当时,
,
,曲线
的形状为直线
,
当时,
,表示以焦点在
轴上,以
为实轴,
以为焦距的双曲线,
当时,
,
当,即
时,表示焦点在
轴上,以
为长轴,以
为焦距的椭圆,
当,即
时,表示焦点在
轴上,以
为长轴,以
为焦距的椭圆,
当,即
时,表示圆心在原点,以
为半径的圆.
(Ⅱ)当时,曲线方程为:
,
当时,
在椭圆
上,计算得出
,
∴,
当时,则
,消去
化简整理得:
,
①,
设,
,
的坐标分别为
,
,
,
则,
,
因为点在椭圆
上,所以
,
从而,化简得:
,
经检验满足①式,
又,
∵,∴
,
∴,
∴,
综上, 的取值范围是
.
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