题目内容

已知向量
a
=(sin2x，1)，向量
b
=(
2
sin(x+
π
4
)
2cosx
，1)，函数f(x)=λ(
a
•
b
-1)
（1）x∈[-
3π
8
，
π
4
]，(λ≠0)，求函数f （x）的单调递减区间；
（2）当λ=2时，写出由函数y=sin2x的图象变换到与y=f（x）的图象重叠的变换过程．
分析：利用向量的数量积化以及两角和与差的三角函数简函数的表达式．
（1）通过x的范围求出相位的范围，利用λ＞0和λ＜0，分别求出函数的减区间．
（2）直接利用函数图象的平移原则左加右减，推出变换后的函数的解析式即可．
解答：解：∵f(x)=λ(
a
•
b
-1)=λsin2x•
2
sin(x+
π
4
)
2cosx
…（2分）
∴f(x)=
2
2
λsin(2x-
π
4
)+
λ
2
，…（5分）
（1）∵-
3π
8
≤x≤4∴-π≤2x-
π
4
≤
π
4
…（6分）
当λ＞0时，由-π≤2x-
π
4
≤-
π
2
得单调减区间为[-
3π
8
，-
π
8
]，
同理，当λ＜0时，函数的单调递减区间为[-
π
8
，
π
4
]，周期为π…（8分）
注：单调区间写成开区间，半开区间均给全分．
（2）当λ=2时，f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)+1， x∈[-
3π
8
，
π
4
]
将y=sin2x的图象右移
π
8
个单位可得y=sin(2x-
π
4
)的图象，再将图象上每个点的纵坐标扩大到原来的
2
倍，而横坐标保持不变，可得f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)的图象，再将所得图象上移一个单位，可得f(2)=
2
sin(2x-
π
4
)+1的图象．…（12分）
点评：本题考查三角函数的化简，单调减区间的求法，三角函数的图象的平移变换，基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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