题目内容
已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为
的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|2．（1）求双曲线G的渐近线的方程；
（2）求双曲线G的方程；
（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴、如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB，若P（x，y）（y＞0）为椭圆上一点，求当△ABP的面积最大时点P的坐标．
【答案】分析：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得
=
，由此能求出双曲线G的渐近线的方程．
（2）设双曲线G的方程为x2-4y2=m，把直线l的方程y=
（x+4）代入双曲线方程，得3x2-8x-16-4m=0，则xA+xB=
，xAxB=-
．由|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，知4（xA+xB）+xAxB+32=0．由此能求出双曲线的方程．
（3）设椭圆S的方程为
+
=1（a＞2
），设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y），则
+
=1，
=1，两式作差得
+
=0．由此入手能够求出P点的坐标．
解答：解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得
=
，
所以k=±
，即双曲线G的渐近线的方程为y=±
x． （3分）
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
把直线l的方程y=
（x+4）代入双曲线方程，
整理得3x2-8x-16-4m=0，
则xA+xB=
，xAxB=-
．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为
-
=1． （7分）
（3）由题可设椭圆S的方程为
+
=1（a＞2
），
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y），
则
+
=1，
=1，
两式作差得
+
=0，
由于
=-4，x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以
-
=0，
所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线
-
=0截在椭圆S内的部分．
又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以
=
，即a2=56，
故椭圆S的方程为
+
=1（12分）
由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点，
易得切线m的方程为y=
，解得切点坐标x=
，y=
，
则P点的坐标为（
）．（14分）
点评：本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查双曲线方程的求法，查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
=，由此能求出双曲线G的渐近线的方程．（2）设双曲线G的方程为x2-4y2=m，把直线l的方程y=
（x+4）代入双曲线方程，得3x2-8x-16-4m=0，则xA+xB=，xAxB=-．由|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，知4（xA+xB）+xAxB+32=0．由此能求出双曲线的方程．（3）设椭圆S的方程为
+=1（a＞2），设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y），则+=1，=1，两式作差得+=0．由此入手能够求出P点的坐标．解答：解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得
=，所以k=±
，即双曲线G的渐近线的方程为y=±x． （3分）（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
把直线l的方程y=
（x+4）代入双曲线方程，整理得3x2-8x-16-4m=0，
则xA+xB=
，xAxB=-．（*）∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为
-=1． （7分）（3）由题可设椭圆S的方程为
+=1（a＞2），设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y），
则
+=1，=1，两式作差得
+=0，由于
=-4，x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以-=0，所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线
-=0截在椭圆S内的部分．又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以
=，即a2=56，故椭圆S的方程为
+=1（12分）由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点，
易得切线m的方程为y=
，解得切点坐标x=，y=，则P点的坐标为（
）．（14分）点评：本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查双曲线方程的求法，查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
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的面积最大时点P的坐标.
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