题目内容
（2012•福建）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且
+
+
=m，求证：a+2b+3c≥9．
已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2b |
| 1 |
| 3c |
分析：（Ⅰ）由条件可得 f（x+2）=m-|x|，故有m-|x|≥0的解集为[-1，1]，即|x|≤m 的解集为[-1，1]，故m=1．
（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（
+
+
）=1+
+
+
+1+
+
+
+1，利用基本不等式证明它大于或等于9．
（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2b |
| 1 |
| 3c |
| 2b |
| a |
| 3c |
| a |
| a |
| 2b |
| 3c |
| 2b |
| a |
| 3c |
| 2b |
| 3c |
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，故 f（x+2）=m-|x|，由题意可得m-|x|≥0的解集为[-1，1]，
即|x|≤m 的解集为[-1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且
+
+
=m=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（
+
+
）
=1+
+
+
+1+
+
+
+1
=3+
+
+
+
+
+
≥3+6=9，当且仅当
=
=
=
=
=
=1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9
即|x|≤m 的解集为[-1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2b |
| 1 |
| 3c |
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2b |
| 1 |
| 3c |
=1+
| 2b |
| a |
| 3c |
| a |
| a |
| 2b |
| 3c |
| 2b |
| a |
| 3c |
| 2b |
| 3c |
=3+
| 2b |
| a |
| 3c |
| a |
| a |
| 2b |
| 3c |
| 2b |
| a |
| 3c |
| 2b |
| 3c |
| 2b |
| a |
| 3c |
| a |
| a |
| 2b |
| 3c |
| 2b |
| a |
| 3c |
| 2b |
| 3c |
所以a+2b+3c≥9
点评：本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．
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