题目内容

(2012•福建)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若a,b,c∈R,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
 =m
,求证:a+2b+3c≥9.
分析:(Ⅰ)由条件可得 f(x+2)=m-|x|,故有m-|x|≥0的解集为[-1,1],即|x|≤m 的解集为[-1,1],故m=1.
(Ⅱ)根据a+2b+3c=(a+2b+3c)(
1
a
+
1
2b
+
1
3c
)=1+
2b
a
+
3c
a
+
a
2b
+1+
3c
2b
+
a
3c
+
2b
3c
+1,利用基本不等式证明它大于或等于9.
解答:解:(Ⅰ)函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,故 f(x+2)=m-|x|,由题意可得m-|x|≥0的解集为[-1,1],
即|x|≤m 的解集为[-1,1],故m=1.
(Ⅱ)由a,b,c∈R,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
 =m
=1,
∴a+2b+3c=(a+2b+3c)(
1
a
+
1
2b
+
1
3c

=1+
2b
a
+
3c
a
+
a
2b
+1+
3c
2b
+
a
3c
+
2b
3c
+1
=3+
2b
a
+
3c
a
+
a
2b
+
3c
2b
+
a
3c
+
2b
3c
≥3+6=9,当且仅当
2b
a
=
3c
a
=
a
2b
=
3c
2b
=
a
3c
=
2b
3c
=1时,等号成立.
所以a+2b+3c≥9
点评:本题主要考查带有绝对值的函数的值域,基本不等式在最值问题中的应用,属于中档题.
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