题目内容
(2012•福建)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若a,b,c∈R,且
+
+
=m,求证:a+2b+3c≥9.
已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若a,b,c∈R,且
1 |
a |
1 |
2b |
1 |
3c |
分析:(Ⅰ)由条件可得 f(x+2)=m-|x|,故有m-|x|≥0的解集为[-1,1],即|x|≤m 的解集为[-1,1],故m=1.
(Ⅱ)根据a+2b+3c=(a+2b+3c)(
+
+
)=1+
+
+
+1+
+
+
+1,利用基本不等式证明它大于或等于9.
(Ⅱ)根据a+2b+3c=(a+2b+3c)(
1 |
a |
1 |
2b |
1 |
3c |
2b |
a |
3c |
a |
a |
2b |
3c |
2b |
a |
3c |
2b |
3c |
解答:解:(Ⅰ)函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,故 f(x+2)=m-|x|,由题意可得m-|x|≥0的解集为[-1,1],
即|x|≤m 的解集为[-1,1],故m=1.
(Ⅱ)由a,b,c∈R,且
+
+
=m=1,
∴a+2b+3c=(a+2b+3c)(
+
+
)
=1+
+
+
+1+
+
+
+1
=3+
+
+
+
+
+
≥3+6=9,当且仅当
=
=
=
=
=
=1时,等号成立.
所以a+2b+3c≥9
即|x|≤m 的解集为[-1,1],故m=1.
(Ⅱ)由a,b,c∈R,且
1 |
a |
1 |
2b |
1 |
3c |
∴a+2b+3c=(a+2b+3c)(
1 |
a |
1 |
2b |
1 |
3c |
=1+
2b |
a |
3c |
a |
a |
2b |
3c |
2b |
a |
3c |
2b |
3c |
=3+
2b |
a |
3c |
a |
a |
2b |
3c |
2b |
a |
3c |
2b |
3c |
2b |
a |
3c |
a |
a |
2b |
3c |
2b |
a |
3c |
2b |
3c |
所以a+2b+3c≥9
点评:本题主要考查带有绝对值的函数的值域,基本不等式在最值问题中的应用,属于中档题.

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