题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,四边形是矩形,是等边三角形,平面平面,,为棱上一点,为的中点,四棱锥的体积为.
(1)若为棱的中点,是的中点,求证:平面平面;
(2)是否存在点,使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,点位于的靠近点的三等分点.
【解析】
(1)根据面面平行的判定定理,即可证明结论成立;
(2)假设存在点满足题意,根据题中条件,先求出的长,再以为坐标原点,所在直线为轴,过点与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,得到,,,,设,分别表示出平面与平面的一个法向量,根据向量夹角余弦值,求出,即可得出结果.
(1)证明:因为、分别是、的中点,
所以,
在矩形中,,
所以,
又因为、分别是、的中点,
所以,
又因为,,
平面,平面,
所以平面平面.
(2)解:假设棱上存在点满足题意.
在等边三角形中,为的中点,
于是,
又平面平面,
平面平面,
平面,
所以平面,
所以是四棱锥的高,
设,则,,
所以,
所以,
以为坐标原点,所在直线为轴,过点与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,
设,
,,
设平面的一个法向量为,有
,
令,则,
易知平面的一个法向量,
所以,
因为,
所以,
所以存在点,位于的靠近点的三等分点.
练习册系列答案
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3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
()
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?