题目内容
已知点P是直线l：ax+y=1上任意一点，直线l垂直于直线y=-x+m，EF是圆M：x2+（y-2）2=1的直径，则
•
的最小值为
| PE |
| PF |
-
| 1 |
| 2 |
-
．| 1 |
| 2 |
分析：数形结合，由
+
=2
，平方可得
•
=
，△PEF中，由余弦定理可得 PE2+PF2=2
•
+4，综合可得
•
=PM2-1，由于PM的最小值是点M到直线l：x-y+1=0 的距离，为
=
，由此求得
•
的最小值．
| PE |
| PF |
| PM |
| PE |
| PF |
| 4PM2-(PE2+PF2) |
| 2 |
| PE |
| PF |
| PE |
| PF |
| |0-2+1| | ||
|
| ||
| 2 |
| PE |
| PF |
解答：
解：由两条直线垂直的性质可得-a×（-1）=-1，解得a=-1，
故直线l：ax+y=1，即 y=x+1．
如图所示：由题意可得M（0，2），EF=2 为直径．
由于
+
=2
，平方可得
2+
2+2
•
=4
2，
∴
•
=
=
①．
△PEF中，由余弦定理可得 EF2=4=PE2+PF2-2PE•PFcos∠EPF
=PE2+PF2-2
•
，
∴PE2+PF2=2
•
+4 ②，
把②代入①可得
•
=
=2PM2-
•
-2，
∴2
•
=2 PM2-2，即
•
=PM2-1，故当PM最小时，
•
取得最小值．
由于PM的最小值是点M到直线l：x-y+1=0 的距离，为
=
，
故
•
的最小值为 PM2-1=
-1=-
．
故答案为-
．
解：由两条直线垂直的性质可得-a×（-1）=-1，解得a=-1，故直线l：ax+y=1，即 y=x+1．
如图所示：由题意可得M（0，2），EF=2 为直径．
由于
| PE |
| PF |
| PM |
| PE |
| PF |
| PE |
| PF |
| PM |
∴
| PE |
| PF |
4
| ||||||
| 2 |
| 4PM2-(PE2+PF2) |
| 2 |
△PEF中，由余弦定理可得 EF2=4=PE2+PF2-2PE•PFcos∠EPF
=PE2+PF2-2
| PE |
| PF |
∴PE2+PF2=2
| PE |
| PF |
把②代入①可得
| PE |
| PF |
4PM2-2
| ||||
| 2 |
| PE |
| PF |
∴2
| PE |
| PF |
| PE |
| PF |
| PE |
| PF |
由于PM的最小值是点M到直线l：x-y+1=0 的距离，为
| |0-2+1| | ||
|
| ||
| 2 |
故
| PE |
| PF |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故答案为-
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，直线和圆相交的性质，余弦定理的应用，属于中档题．
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