题目内容
已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=
，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有
•
=-2成立．
（3）设动点P满足
=
+
，当a=-2，m变化时，求|OP|的取值范围．
（1）当m=0时，有∠AOB=
| π |
| 3 |
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有
| OA |
| OB |
（3）设动点P满足
| MP |
| OA |
| OB |
分析：（1）直线方程为y=1，代入曲线C：ax2+y2=2求得A，B的坐标，利用∠AOB=
可求曲线的方程；
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2联立，化简得（a+m2）x2+2mx-1=0，假设点A，B的坐标，利用
•
=-2可求；
（3）将条件
=
+
转化为坐标的形式，从而可表达为关于m的函数，进而求m变化时，|OP|的取值范围
| π |
| 3 |
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2联立，化简得（a+m2）x2+2mx-1=0，假设点A，B的坐标，利用
| OA |
| OB |
（3）将条件
| MP |
| OA |
| OB |
解答：解：（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax2+y2=2可得A(-
，1)，B(
，1)
∵∠AOB=
，∴tan300 =
，∴a=3
∴曲线C的方程为3x2+y2=2
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2联立，化简得（a+m2）x2+2mx-1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=-2
∴可有3a-1=0，∴a=
（3）由（2）知x1+x2=
，y1+y2=
设P（x，y），则（x，y+1）=（x1+x2，y1+y2）
∴x=
，y=
∴|OP|=
令m2-2=t（t≥-2），∴|OP|=
≥
|
|
∵∠AOB=
| π |
| 3 |
|
∴曲线C的方程为3x2+y2=2
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2联立，化简得（a+m2）x2+2mx-1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=-2
∴可有3a-1=0，∴a=
| 1 |
| 3 |
（3）由（2）知x1+x2=
| 2m |
| m2-2 |
| 4m2-4 |
| m2-2 |
设P（x，y），则（x，y+1）=（x1+x2，y1+y2）
∴x=
| 2m |
| m2-2 |
| 3m2-2 |
| m2-2 |
∴|OP|=
|
令m2-2=t（t≥-2），∴|OP|=
|
| ||
| 6 |
点评：本题的可得时直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查曲线方程的求解，考查直线与曲线方程联立解决位置关系问题，计算量大，由难度．
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