题目内容
设公差为d（d≠0）的等差数列{an}与公比为q（q＞0）的等比数列{bn}有如下关系：a1=b1=2，a7=b3， ab3=9．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）A={a1，a2，a3，…，a20}，B={b1，b2，b3，…，a20}，C=A∩B，求集合C中的各元素之和．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）A={a1，a2，a3，…，a20}，B={b1，b2，b3，…，a20}，C=A∩B，求集合C中的各元素之和．
分析：（Ⅰ）由已知得
，消掉b3，得6d2+d-7=0，解出d值，代入方程可求得q，根据等差数列、等比数列的通项公式可求得an，bn；
（Ⅱ）表示出集合A、B，可知两集合相同的元素，从而可求得各元素之和；
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（Ⅱ）表示出集合A、B，可知两集合相同的元素，从而可求得各元素之和；
解答：解：（I）由已知得
，
消掉b3，得6d2+d-7=0，解得d=1或d=-
，
当d=1时，b3=2+6d=8=2q2，解得q=2，q=-2（舍），
当d=-
时，b3=2+6d=-5=2q2，无解；
∴an=n+1，bn=2n；
（Ⅱ）A={2，3，4，…，21}，B={2，4，8，…，220}，
则集合A与集合B的相同元素为：2，4，8，16，其和为：2+4+8+16=30．
|
消掉b3，得6d2+d-7=0，解得d=1或d=-
| 7 |
| 6 |
当d=1时，b3=2+6d=8=2q2，解得q=2，q=-2（舍），
当d=-
| 7 |
| 6 |
∴an=n+1，bn=2n；
（Ⅱ）A={2，3，4，…，21}，B={2，4，8，…，220}，
则集合A与集合B的相同元素为：2，4，8，16，其和为：2+4+8+16=30．
点评：本题考查等差数列、等比数列的综合，属中档题，考查方程思想，考查学生的运算求解能力．
练习册系列答案
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设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
-y2=1，n=3．点P1（3，0） 及S3=162，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y2=2px（p≠0）．点P1（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差数列；
（3）若C的方程为
（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．
| 符号意义 | 本试卷所用符号 | 等同于《实验教材》符号 |
| 向量坐标 |  ={x，y} | =（x，y） |
| 正切 | tg | tan |
设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
-y2=1，n=3．点P1（3，0） 及S3=162，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y2=2px（p≠0）．点P1（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差数列；
（3）若C的方程为
（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．
（1）若C的方程为
-y2=1，n=3．点P1（3，0） 及S3=162，求点P3的坐标；（只需写出一个）（2）若C的方程为y2=2px（p≠0）．点P1（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差数列；
（3）若C的方程为
（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．| 符号意义 | 本试卷所用符号 | 等同于《实验教材》符号 |
| 向量坐标 |  ={x，y} |  =（x，y） |
| 正切 | tg | tan |