题目内容

设，由，f(3)>1，，f(15)>2，…

（1）你能得到怎样的结论？并证明；

（2）是否存在一个正数T，使对任意的自然数n，恒有f(n)<T成立？并证明你的结论。

答案：
解析：

数列1，3，7，15，…。通项公式为an=2n-1，数列，1，，2，…通项公式为，∴ 猜想：。

证明：（1）当n=1时，不等式成立。

（2）假设当n=k时不等式成立，即。则

∴ 当n=k+1时不等式也成立。

据（1）、（2）对任何nÎN*原不等式均成立。

（2）对任意给定的正意T，设它的整数部分为T¢，记m=T¢+1，则m>T。由（1）知：f(22m-1)>m，∴ f(22m-1)>T，这说明，对任意给定的正数T，总能找到正整数n（如可取假设中n为2m），使得f(n)>T。∴ 不存在正数T，使得对任意的正整数n，总有f(n)<T成立。


练习册系列答案
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设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为
2π
3
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移
π
2
个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．
设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为
2π
3
．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[0，
π
6
]时，求f（x）的最值．
（3）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移
π
2
个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．
设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
表1映射f的对应法则
X 1 2 3 4
f（x） 3 4 2 1
表2映射g的对应法则
x 1 2 3 4
g（x） 4 3 1 2
则f[g（1）]的值为（　　）
设f，g 都是由A到A的映射（其中A={1，2，3}），其对应法则如下表，则f[g（3）]等于（　　）
g：x→y x 1 2 3
y 3 2 1
f：x→y x 1 2 3
y 1 1 2
设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
表1  映射f的对应法则
原像 1 2 3 4
像 3 4 2 1
表2  映射g的对应法则
原像 1 2 3 4
像 4 3 1 2
则与f[g（1）]相同的是（　　）

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