Question

（01全国卷理）(14分)

设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x₁，x₂∈[0，]都有f (x₁＋x₂) = f (x₁) ? f (x₂)．且f (1) = a＞0．

    (Ⅰ)求f () 及f ()；

(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数；

(Ⅲ)记a_n = f (2n＋)，求．

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：因为对x₁，x₂∈[0，]，都有f (x₁＋x₂) = f (x₁) ? f (x₂)，所以

        f () ? f ()≥0，x∈[0，1]．

∵ f () = f () ? f () = [f ()]²，

        f ()f () = f () ? f () = [f ()]²．                      ……3分

，

∴ f ()，f ()．                                      ……6分

（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，

故 f (x) = f (1＋1－x)，

即f (x) = f (2－x)，x∈R．                                           ……8分

又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R，

∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R，

将上式中－x以x代换，得

f (x) = f (x＋2)，x∈R．

这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．                  ……10分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]．

∵ f ()= f (n ?) = f (＋（n－1）?)

     = f () ? f (（n－1）?)

     = f () ? f () ? … ?f ()

     = [ f ()]ⁿ，

     f () = ，

∴ f () = ．

∵ f (x)的一个周期是2，

∴ f (2n＋) = f ()，因此a_n = ，                              ……12分

∴ () = 0．                                   ……14分