题目内容
数列{an}满足a1=1，an+1=an+n+1（n∈N*），则
+
+…+
等于（ ）
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a2013 |
A．
| B．
| C．
| D．
|
由an+1=an+n+1得，an+1-an=n+1，
则a2-a1=1+1，
a3-a2=2+1，
a4-a3=3+1，
…
an-an-1=（n-1）+1，
以上等式相加，得an-a1=1+2+3+…+（n-1）+n-1，
把a1=1代入上式得，an=1+2+3+…+（n-1）+n=
，
∴
=
=2（
-
），
∴
+
+…+
=2[（1-
）+（
-
）+…+（
-
）]
=2（1-
）=
，
故选C．
则a2-a1=1+1，
a3-a2=2+1，
a4-a3=3+1，
…
an-an-1=（n-1）+1，
以上等式相加，得an-a1=1+2+3+…+（n-1）+n-1，
把a1=1代入上式得，an=1+2+3+…+（n-1）+n=
| n(1+n) |
| 2 |
∴
| 1 |
| an |
| 2 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a2013 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2014 |
=2（1-
| 1 |
| 2014 |
| 2013 |
| 1007 |
故选C．
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