题目内容

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 $数学公式$ 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

解：如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中， $\text{[math]}$ =tan60°= $\text{[math]}$ ，所以OA= $\text{[math]}$ DA= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ sinα．
所以AB=OB-OA=cosα $\text{[math]}$ sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα $\text{[math]}$ sinα）sinα=sinαcosα $\text{[math]}$ sin²α
= $\text{[math]}$ sin2α+ $\text{[math]}$ cos2α- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ sin2α+ $\text{[math]}$ cos2α）- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin（2α+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ．
由于0＜α＜ $\text{[math]}$ ，所以当2α+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即α= $\text{[math]}$ 时，S_最大= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
因此，当α= $\text{[math]}$ 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．
点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．