题目内容

(2012•道里区三模)已知函数f(x)=
kx+1,x≤0
lnx,x>0
,则下列关于函数y=f[f(x)]+1的零点个数的判断正确的是(  )
分析:因为函数f(x)为分段函数,函数y=f(f(x))+1为复合函数,故需要分类讨论,确定函数y=f(f(x))+1的解析式,从而可得函数y=f(f(x))+1的零点个数;
解答:解:解:分四种情况讨论.
(1)x>1时,lnx>0,∴y=f(f(x))+1=ln(lnx)+1,此时的零点为x=e
1
e
>1;
(2)0<x<1时,lnx<0,∴y=f(f(x))+1=klnx+1,则k>0时,有一个零点,k<0时,klnx+1>0没有零点;
(3)若x<0,kx+1≤0时,y=f(f(x))+1=k2x+k+1,则k>0时,kx≤-1,k2x≤-k,可得k2x+k≤0,y有一个零点,
若k<0时,则k2x+k≥0,y没有零点,
(4)若x<0,kx+1>0时,y=f(f(x))+1=ln(kx+1)+1,则k>0时,即y=0可得kx+1=
1
e
,y有一个零点,k<0时kx>0,y没有零点,
综上可知,当k>0时,有4个零点;当k<0时,有1个零点;
故选B;
点评:本题考查分段函数,考查复合函数的零点,解题的关键是分类讨论确定函数y=f(f(x))+1的解析式,考查学生的分析能力,是一道中档题;
练习册系列答案
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