题目内容
已知左焦点为
的椭圆过点
．过点
分别作斜率为
的椭圆的动弦
，设
分别为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
为线段
的中点，求
；
（3）若
，求证直线
恒过定点，并求出定点坐标．
（1）
；（2）
；（3）证明过程详见解析，
.
解析试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、直线的斜率、中点坐标等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先利用左焦点
坐标得右焦点
坐标，然后利用定义
，求得
，而
，得
，得出结论，椭圆为；（2）先将点
坐标代入椭圆，两者作差得
，而
代入得，利用韦达定理求
，同理求
，用坐标求
，用
点和点斜式写出直线方程，利用化简，可分析过定点.
试题解析：（1）由题意知
设右焦点
2分
椭圆方程为 4分
（2）设
则 
① 
② 6分
② ①，可得
8分
（3）由题意
，设
直线
，即
代入椭圆方程并化简得
10分
同理
11分
当
时， 直线的斜率
直线的方程为
又 化简得
此时直线过定点（0，
） 13分
当
时，直线即为
轴，也过点（0，）
综上，直线过定点. 14分
考点：1.椭圆的定义；2.中点弦的解决方法.
练习册系列答案
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与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点，并求出该定点的坐标.
轴上，离心率
，点
在椭圆C上.
的标准方程；
的直线
交椭圆
、
两点，且
、
成等差数列，点M（1,1），求
的最大值.
）。
为斜率的直线分别交椭圆C于A，B，M，N，求证： 
使得
，圆
，动圆
与已知两圆都外切.
的方程；
与点
、
，
的中垂线与
轴交于点
，求点
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内切，圆心
。
是与圆
，
两点，当圆
。
的右焦点为
，上顶点为B，离心率为
，圆
与
轴交于
两点 
的值；
，过点
与圆
相切的直线
与
的另一交点为
，求
的面积 
中,点
到两点
的距离之和等于4,设点
,直线
与
两点.
在第一象限,证明当
时,恒有
.
的长轴两端点分别为
，
是椭圆上的动点，以
为一边在
轴下方作矩形
，使
，
交
，
交
．
，且
为椭圆上顶点时，
的面积为12，点
到直线
，求椭圆的方程；
，试证明：
成等比数列．