题目内容

【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,且抛物线上有一点到焦点的距离为5.

(1)求该抛物线的方程;

(2)已知抛物线上一点,过点作抛物线的两条弦,且,判断直线是否过定点?并说明理由.

【答案】(1).(2)

【解析】试题分析:(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;
(2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.

试题解析:

(1)由题意设抛物线方程为

其准线方程为

到焦点的距离等于到其准线的距离,

,∴.

∴抛物线的方程为.

(2)由(1)可得点,可得直线的斜率不为0,

设直线的方程为:

联立,得

①.

,则.

,得:

,即

代人①式检验均满足

∴直线的方程为:.

∴直线过定点(定点不满足题意,故舍去).

点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化.

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