题目内容

【题目】某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)= (万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+ (万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

【答案】
(1)解:∵每件商品售价为0.05万元,

∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元,

①当0<x<80时,根据年利润=销售收入﹣成本,

∴L(x)=(0.05×1000x)﹣ ﹣10x﹣250= +40x﹣250;

②当x≥80时,根据年利润=销售收入﹣成本,

∴L(x)=(0.05×1000x)﹣51x﹣ +1450﹣250=1200﹣(x+ ).

综合①②可得,L(x)=


(2)解:由(1)可知,

①当0<x<80时,L(x)= +40x﹣250=﹣

∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元;

②当x≥80时,L(x)=1200﹣(x+ )≤1200﹣2 =1200﹣200=1000,

当且仅当x= ,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1000万元.

综合①②,由于950<1000,

∴当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.


【解析】(1)分两种情况进行研究,当0<x<80时,投入成本为C(x)= (万元),根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,当x≥80时,投入成本为C(x)=51x+ ,根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,最后写成分段函数的形式,从而得到答案;(2)根据年利润的解析式,分段研究函数的最值,当0<x<80时,利用二次函数求最值,当x≥80时,利用基本不等式求最值,最后比较两个最值,即可得到答案.

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