Question

【题目】若函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续，f（a）<0，f（b）>0，且f（x）在[a，b]上单调递增，求证：f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】证明：由于f（x）在[a，b]上的图象连续，且f（a）<0，f（b）>0，即f（a）·f（b）<0，

所以f（x）在（a，b）内至少存在一个零点，设零点为m，则f（m）＝0，

假设f（x）在（a，b）内还存在另一个零点n，即f（n）＝0，则n≠m.

若n>m，则f（n）>f（m），即0>0，矛盾；若n<m，则f（n）<f（m），即0<0，矛盾．

因此假设不成立，即f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．