Question

【题目】设是公比为正整数的等比数列，是等差数列，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列的前项和为.

①试求最小的正整数，使得当时，都有成立；

②是否存在正整数 ，使得成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）①最小的正整数；②存在正整数，使得成立.

【解析】

试题分析：

（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）①，

可得数列的前2n项和，设,则，时，，即时，，数列在时单调递增，而，所以，即可得出最小的正整数．②由，， ，，，，，.按的奇偶性分情况： 1°当同时为偶数时，由①可知； 2°当同时为奇数时，时，，数列在时单调递增，不成立； 3°当为偶数，为奇数时，，不成立； 4°当为奇数，为偶数时，显然时，不成立；综合即可得出使得成立的正整数.

试题解析：

（1）由，，

得，，

设的公比为，的公差为，

由，

得，

即，消去，得，

解得或，

又，

，

得.

（2）①，

，

，

，

设,

则，

所以数列单调递增，则时，，

即时，，数列在时单调递增，

而，所以当时，，

综上，最小的正整数.

②法一：，

，

，

，

，

，

，

.

1.当同时为偶数时，由①可知；

2.当同时为奇数时，设,

则，

所以数列单调递增，则当时，，

即时，，数列在时单调递增，

而，

故当同时为奇数时，不成立；

3.当为偶数，为奇数时，显然时，不成立，

若，则，

，，

由2.可知，，

当为偶数，为奇数时，不成立；

4.当为奇数，为偶数时，显然时，不成立，

若，则，

若，

则，

即，时，不成立，

若，即，

由①中数列的单调性，可知，

设，

恒成立，

所以数列单调递增，

则当时，，

，

时也不成立；

综上1.2.3.4.，存在正整数，使得成立.

法二：可以证明当时，不等式恒成立，余下略.