Question

对于函数f(x)=a-

2

2x+1

 (a∈R)． 
（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使得f（x）为奇函数．

Answer 1

分析：（1）设x₁＜x₂，化简计算f（x₁）-f（x₂）的解析式到因式乘积的形式，判断符号，得出结论．
（2））假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，若a无解，说明不存在实数a使f（x）为奇函数，若a有解，说明存在实数a使f（x）为奇函数．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，（3分）
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（6分）
（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）（7分）
即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，（9分）
解得：a=1，故存在实数a使f（x）为奇函数．  （12分）

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断．