题目内容

已知
m
=(cosx,
3
sinx),
n
=(cosx,cosx),设f(x)=
m
n

(1)求函数f(x)的图象的对称轴及其单调递增区间;
(2)当x∈[0,
π
2
]
,求函数f(x)的值域及取得最大值时x的值;
(3)若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边,且b•c=
6
-
2
,f(A)=
1
2
,试求△ABC的面积S.
分析:(1)先根据f(x)=
m
n
求f(x)解析式,求出为f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2
,再根据基本正弦函数的对称轴求
f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2
的对称轴.
(2)先根据x∈[0,
π
2
]
,求2x+
π
6
的范围再根据基本正弦函数的求f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2
的范围.
(3)先根据f(A)=
1
2
,以及A的范围求角A,再求角A的正弦值,最后用面积公式求出△ABC的面积S.
解答:解:(1)因为f(x)=
m
n
=cosxcosx+
3
cosxsinx=cos2x+
3
sinxcosx

=
cos2x+
3
sin2x-1
2
=sin(2x+
π
6
)+
1
2
  
  所以对称轴方程:x=
π
6
+
2
(k∈Z)
   单调递增区间为(-
π
3
+kπ,
π
6
+kπ)
(k∈Z)
  (2)当x∈[0,
π
2
]
时,2x+
π
6
∈[
π
6
6
],sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1],
   sin(2x+
π
6
)+
1
2
∈[0,
3
2
]
所以,当2x+
π
6
=
π
2
,即x=
π
6
sin(2x+
π
6
)+
1
2
有最大值为
3
2

f(x)的值域为[0,
3
2
]
x=
π
6
是取得最大值
  (3)因为f(A)=
1
2
,所以sin(2A+
π
6
)+
1
2
=
1
2
,所以A=
12

sin
12
=sin(
π
4
+
π
6
)=sin
π
4
cos
π
6
+cos
π
4
sin
π
6
=
6
+
2
4

sABC=
1
2
b•csin
12
=
1
2
6
-
2
6
+
2
4
=
1
2

所以△ABC的面积为
1
2
点评:本题考查了三角函数性质的应用,以及三角形面积公式的应用,做题时看清题意,认真解答.
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