Question

15．在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠所对的边，若向量$\overrightarrow{m}$=（3，-sinA），$\overrightarrow{n}$=（a，5c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
（1）求$\frac{sin2C}{sin2C+co{s}^{2}C}$的值；
（2）若c=4，且a+b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意及平面向量数量积的运算可得3a=5csinA，由正弦定理化简可得sinC，由同角三角函数关系式可求cosC，利用二倍角公式即可求值得解．
（2）由（1）及余弦定理可求ab的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（3，-sinA），$\overrightarrow{n}$=（a，5c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
∴3a=5csinA，
∴3sinA=5sinCsinA，
∵sinA≠0，∴sinC=$\frac{3}{5}$．
∵△ABC为锐角三角形，∴cosC=$\frac{4}{5}$．
∴$\frac{sin2C}{sin2C+co{s}^{2}C}$=$\frac{2sinC•cosC}{2sinC•cosC+co{s}^{2}C}$=$\frac{2sinC}{2sinC+cosC}$=$\frac{2×\frac{3}{5}}{2×\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{5}$…（6分）
（2）由（1）可知sinC=$\frac{3}{5}$，cosC=$\frac{4}{5}$，
∵c=4，a+b=5
∴c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC，
∴16=25-2ab-2ab×$\frac{4}{5}$，∴ab=$\frac{5}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{4}$…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，同角三角函数关系式，二倍角公式，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．