Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λx-cosx在区间[

π

3

，

2

3

π]上是减函数．
（Ⅰ）求a的值与λ的范围；
（Ⅱ）若对（Ⅰ）中所得的任意实数λ都有g（x）≤λt-1在x∈[

π

3

，

2

3

π]上恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若m＞0，试讨论关于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m的根的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，可得出f（x）+f（-x）=0，由此方程恒成立求a，g（x）=λx-cosx在区间[

π

3

，

2

3

π]上是减函数可得出其导数符号在区间[

π

3

，

2

3

π]上恒负；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中所得的任意实数λ都有g（x）≤λt-1在x∈[

π

3

，

2

3

π]上恒成立，可知g（x）_max≤λt-1，由此不等式解出实数t的取值范围；
（Ⅲ）构造两个函数f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，将方程有根的问题转化为函数有交点的问题进行研究．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数
∴f（x）+f（-x）=0即ln（e^x+a）+ln（e^-x+a）=0，即（e^x+a）（e^-x+a）=1，整理得a（e^-x+e^x+a）=0恒成立，故a=0
又g（x）=λx-cosx在区间[

π

3

，

2

3

π]上是减函数
g′（x）=λ+sinx在区间[

π

3

，

2

3

π]上恒小于等于0即，λ≤-sinx在区间[

π

3

，

2

3

π]上恒成立，可得λ≤-1
（Ⅱ）函数g（x）=λx-cosx在区间[

π

3

，

2

3

π]上是减函数，故函数g（x）的最大值是

π

3

λ-

1

2

≤λt-1，即t≤

π

3

+

1

2λ

由（Ⅰ）知λ≤-1，

π

3

+

1

2λ

在（-∞，-1）上是减函数，故t≤

π

3

-

1

2

（Ⅲ）

lnx

f(x)

=x2-2ex+m，由（Ⅰ）知f（x）=x，故方程可变为

lnx

x

=x2-2ex+m
令f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m
则f₁′（x）=

1-lnx

x2

，当x∈（0，e）时f₁′（x）＞0，f₁（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时f₁′（x）＜0，f₁（x）为减函数；
∴当x=e时，f₁（x）的最大值为f₁（e）=

1

e

而f₂（x）=x²-2ex+m=（x-e）²-e²+m²，
结合f₁（x）与f₂（x）的大致图象可得
当-e²+m＞

1

e

，即 m＞e²+

1

e

时，方程无实根；
-e²+m=

1

e

，m=e²+

1

e

时，方程有一个实根；
-e²+m＜

1

e

，0＜m＜e²+

1

e

时，方程有两个实根；

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解答本题关键是掌握导数与单调性的关系，由函数的单调性判断出函数的最值，本题中第二问中的恒成立的问题就是一个求最值，利用最值建立不等式的题型，本类题运算量大，且多是符号算，故解题时要严谨认真，避免因运算失误或变形失误导致解题失败．